Cosa sono i vettori in matematica?

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Opinione scritta da: Redazione 17:10:56 04-02-2011

In analisi matematica, in fisica, in algebra lineare, nei linguaggi di programmazione e in geometria il concetto di vettore è importantissimo perché può facilitare notevolmente lo sviluppo di un esercizio o aiutarci nella raccolta di dati.
Si definisce vettore un elemento del piano (detto ente o oggetto) che appartiene allo spazio vettoriale.
Fissato quindi uno spazio vettoriale R elevato a un certo n appartenente ai numeri naturali e fissando una base, possiamo descrivere un vettore con un ennupla di numeri del tipo (x1, x2, x3….xn).
Ad esempio il più comune spazio vettoriale R al quadrato è il piano cartesiano: un vettore viene identificato con una coppia di numeri (x,y) chiamate coordinate. Per rappresentarlo basta disegnare una freccia che parte dall’origine di coordinate (0, 0) e arrivi al punto (x,y). Allo stesso modo in fisica vengono rappresentati in questa maniera tenendo conto che ogni vettore è caratterizzato da tre elementi: il modulo, ossia la lunghezza del segmento, la direzione, ossia la retta in cui giace, e il verso, cioè in che modo deve essere percorso (il vettore è un segmento AB e può avere il verso che va da A a B, o da B a A).
Quindi a seconda dello spazio vettoriale e della sua dimensione abbiamo ennuple che identificano i vettori. I più comuni solo lo spazio bi-dimensionale R^2 con le coppie (x,y), e viene detto piano cartesiano, e lo spazio R^3 tri-dimensionali (x, y, z).
La nozione di vettore può essere applicata, oltre al campo reale, a qualsiasi campo, ad esempio al campo complesso.
In matematica e algebra lineare i vettori vengono espressi comunemente con le matrici. In particolare la matrice caratterizzata da una sola colonna, n x 1, è detto vettore colonna.
Questo perché ad ogni sistema lineare di m equazioni e di n incognite, le incognite n per convenienza vengono paragonate a dei vettori per rendere più semplice la risoluzione di sistemi molto grandi e complessi.
Insieme al concetto di vettore, viene introdotto un numero, detto scalare. Lo scalare deve essere un numero appartenente al campo che definisce lo spazio vettoriale. Ad esempio nello spazio complesso, lo scalare è un numero complesso, nello spazio reale è un numero reale.
È possibile eseguire delle operazioni elementari (addizione, sottrazione, prodotto e divisione) tra vettori e tra vettori e scalari.
Per fare ciò esprimiamo i vettori in matrice a colonna e li affianchiamo con il segno dell’operazione. La somma e la differenza dei vettori corrispondono alla somma e la differenza dei singoli termini. Ad esempio W (vettore somma) è uguale a v1 + v2.
Invece se vogliamo moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare, basta moltiplicare o dividere le singole componenti del vettore per lo scalare: Lv= L*v1 + L*v2…

Inoltre è possibile moltiplicare i vettori tra di loro (prodotto vettoriale): il prodotto sarà una matrice quadrata m^2, se i due vettori iniziali hanno dimensioni m x 1 e n x 1, con la prima riga contente i versori corrispondenti e sotto i vettori disposti con le coordinate per riga.

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