Cos’è la tangente in matematica ?

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Opinione scritta da: Redazione 15:21:39 04-02-2011

In matematica possiamo trovare due definizioni di tangente, una che fa riferimento alla trigonometria e una che fa riferimento alla geometria. Partiamo dalla trigonometria. In questo caso, la tangente di un angolo non è altro che una funzione trigonometrica che è definita come il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo stesso. La definizione di tale funzione deriva dal fatto che essa può anche essere identificata come la lunghezza di un segmento della retta che tange la circonferenza goniometrica. Spieghiamo. Data una circonferenza di raggio unitario, la tangente di un angolo è rappresentata dal punto di intersezione tra la retta alla circonferenza e la retta che comprende il lato libero dell’angolo. La tangente è una funzione dispari. Il suo reciproco è rappresentato dalla cotangente, mentre il suo inverso è l’arcotangente. La tangente, inoltre, può anche essere definita come il coefficiente angolare di una retta, e in questo caso rappresenta la tangente dell’angolo formata dalla stessa retta con l’asse delle ascisse. È possibile ottenere i valori di seno e coseno a partire dalla tangente. Pensando alla tangente come al rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di un punto di una circonferenza che ha come centro l’origine degli assi, l’ascissa e l’ordinata possono essere considerate come cateti di un triangolo rettangolo. Il seno, dunque, è il rapporto tra l’ordinata e l’ipotenusa, il coseno il rapporto tra ascissa e ipotenusa. Per quanto riguarda l’ambito geometrico, invece, è possibile definire in diversi modi una tangente a una curva nel piano. Il termine tangente deriva dal verbo tangere, che significa toccare. L’idea intuitiva, dunque, è che una retta tangente a una curva tocchi la curva stessa senza tagliarla (cioè secarla, immaginando la curva come un oggetto fisico che non può essere penetrato: una retta che attraversa la curva, cioè la taglia, è chiamata secante). Data, per esempio, una secante che passa per due punti distinti in una curva, la tangente in uno dei due punti è la retta cui tende la secante nel momento in cui i due punti si avvicinano. Un’altra maniera per identificare il concetto consiste nel pensare alla tangente in un punto a una curva come alla retta che approssima meglio la curva nei dintorni del punto. Possono esistere casi, tuttavia, in cui la tangente non può essere definita. Ci riferiamo, per esempio, al caso in cui la curva sia costituita dal perimetro di un triangolo, e il punto è un vertice: in questa situazione nessuna delle due definizioni precedentemente date può corrispondere in maniera univoca a una retta passante per il punto. Venendo alla geometria sintetica, è possibile fornire definizione alternative di tangente rispetto a curve specifiche, definizioni che valgono, appunto, solo in determinati casi. Per esempio, la tangente a una circonferenza in un suo punto può essere individuata come la retta che passa per quel punto e avente una distanza dal centro pari al raggio, o in alternativa come l’unica retta del piano che ha in comune con la circonferenza solo quel punto. Nell’ambito di una geometria a più dimensioni, infine, il piano tangente a una superficie può essere definito in modo simile, così come lo spazio tangente. È il calcolo infinitesimale che viene utilizzato per definire la tangente di una curva generica.

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