Come si risolvono le equazioni lineari?

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Opinione scritta da: Redazione 18:47:18 21-12-2010

Un’equazione matematica è un’uguaglianza tra due espressioni, contenenti una o più variabili, che prendono il nome di incognite. Risolvere un’equazione significa trovare il valore o i valori delle incognite che soddisfano l’equazione. Un’equazione può infatti avere una, più di una o nessuna soluzione e le soluzioni prendono anche il nome di radici.

Un’equazione si dice lineare o di primo grado quando il grado massimo in cui si presentano le incognite è uno. Il numero delle incognite può essere invece variabile.
Generalmente, in un’equazione, troviamo al primo membro, un polinomio nelle variabili incognite e al secondo membro lo zero; troviamo quindi un’espressione del tipo: polinomio = 0. Qualora ciò non si verificasse, il primo passo per risolvere l’equazione è scriverla nella forma esplicita, o anche detta forma normale, cioè con lo zero al secondo membro.
A questo punto, è possibile risolvere l’equazione. Per semplicità, supponiamo di avere un polinomio di primo grado nella sola variabile x. Quindi, avremo un’espressione del tipo: ax + b = 0.
Per la risoluzione dell’equazione, occorre discutere i parametri a e b.
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, allora la soluzione dell’equazione è unica ed è: x = – b/a. L’equazione si dice determinata.
Se a ≠ 0 e b = 0, la soluzione è ancora una volta unica ed è: x = 0.
Se a = 0 e b ≠ 0, l’equazione non ha nessuna soluzione, e questo è facilmente verificabile perché nessun numero, moltiplicato per zero, restituisce un numero diverso da zero. In tal caso l’equazione si dice impossibile.
Se a = 0 e b = 0, l’equazione ha infinite soluzioni e anche questo è facilmente verificabile perché qualsiasi numero, moltiplicato per zero, restituisce zero. In tal caso l’equazione si dice indeterminata.

Se, invece, supponiamo di avere un’equazione lineare in due o più variabili, tale equazione non risulta risolvibile singolarmente. In altre parole, se, ad esempio, vogliamo risolvere un’equazione lineare nelle variabili x e y, non basta avere una sola equazione, ma ne occorrono due. In linea generale, per risolvere equazioni in più di una variabile, abbiamo bisogno di un sistema di equazioni in numero pari o superiore al numero delle incognite. Anche per i sistemi lineari, vale quanto detto per le equazioni, ovvero i sistemi, e di conseguenza le equazioni che li compongono, possono avere una, più di una o nessuna soluzione.

Particolare interesse hanno le equazioni lineari in due incognite e in tre incognite. Equazioni in due incognite, denominate in genere con x e y, rappresentano, nel piano cartesiano, una retta. Equazioni in tre incognite, denominate in genere con x, y e z, rappresentano, nello spazio, un piano.

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