Matematica: Come faccio a risolvere gli integrali?

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Opinione scritta da: Redazione 11:07:31 08-02-2011

Nell’ambito dell’analisi matematica, si definisce integrale di una funzione l’operatore matematico che associa l’area sottesa della funzione stessa rispetto all’ascissa alla funzione, nel caso in cui si abbia a che fare con una funzione a una variabile. Nel caso in cui, invece, ci si trovi in presenza di funzioni a più variabili, l’integrale presuppone il calcolo del volume sotteso e dell’area sulla base del numero di variabili della funzione che deve essere integrata. Ma come si calcola un integrale? Quale è il procedimento che deve essere seguito? Andiamo a scoprirlo nel dettaglio. Innanzitutto, il primo passo da compiere consiste nel verificare se l’integrale è di tipo immediato, vale a dire se esso è compreso nella tabella degli integrali o comunque è riconducibile a uno di essi. Nel caso in cui l’integrale non sia di tipo immediato, si deve comunque procedere verificando se esso possa essere risolto mediante sostituzione. Un integrale può essere risolta attraverso sostituzione se il suo argomento comprende allo stesso tempo una funzione e la sua derivata. Se l’integrale non è risolvibile nemmeno per sostituzione, si proverà con l’integrale per parti: tale procedimento, comunque, è possibile esclusivamente nel caso in cui l’argomento possa essere diviso in due funzioni, una delle quali consente di conoscere l’integrale, e l’altra che consente di conoscere la derivata. Se, infine, anche in questo caso l’integrale non è risolto, bisogna verificare se si tratta di una funzione razionale: in questo caso, dovrà essere applicato il metodo per le funzioni razionali. L’ultima possibilità consiste nello sviluppo della funzione in serie di potenze, allo scopo di fare l’integrale di ogni potenza della serie. Alcuni consigli per il calcolo dell’integrale. È opportuno ricordare che l’integrale di una somma di funzioni corrisponde alla somma degli integrali delle funzioni singole. Traducendo, in presenza di una somma di integrali è sufficiente realizzare l’integrale di ogni elemento. Allo stesso modo, l’integrale di una costante per una funzione corrisponde alla costante moltiplicata per l’integrale di una funzione. Ciò significa che è possibile estrarre le costanti moltiplicative e risolvere semplicemente l’integrale. Spostandoci sul piano teorico, è doveroso sottolineare che esiste più di una definizione che può essere applicata per spiegare l’integrale di una funzione. Basti pensare, per esempio all’integrale di Riemann e all’integrale di Lebesque. Parliamo proprio di quest’ultimo. La definizione di questo tipo di integrale si fonda sulla definizione di misura di un insieme o una superficie. Ciò equivale a dire che invece di approssimare ricorrendo a funzioni a gradini, come avviene per l’integrale di Riemann, il calcolo dell’integrale di Lebesgue è basato sulle funzioni semplici, vale a dire su funzioni che riguardano un numero di valori finito. Insomma, l’integrale di Lebesgue riguarda funzioni definite nell’ambito di un dominio multidimensionale, laddove, invece, quello di Riemann è applicabile solo per talune funzioni definita dai sottoinsiemi dei numeri reali. Il risultato che si ottiene dall’integrale di Riemann, comunque, corrisponde a quello di Lebesgue. Per altro, non è vero il contrario, cioè esistono casi in cui esiste l’integrale di Lebesgue ma non quello di Riemann. Concludiamo segnalando che in presenza di una funzione continua, la funzione integrale rappresenta una funzione derivabile: si tratta del teorema di Torricelli e Ballow, dimostrabile calcolando un integrale.

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