Matematica: Come faccio a calcolare la tangente?

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Opinione scritta da: Redazione 10:47:16 08-02-2011

Andiamo a scoprire qual è il procedimento da seguire per calcolare la tangente. Prima, però, riteniamo doveroso fornire una definizione di tangente. È necessario sottolineare che per definire una retta tangente a una curva è possibile ricorrere a diverse spiegazioni. Iniziamo specificando che il termine tangente deriva dal verbo tangere, che significa toccare. Insomma, l’idea, approssimativamente intuitiva, di una retta tangente a una curva, riguarda una curva che tange, cioè tocca, una curva, senza andare a tagliarla, o per meglio dire a secarla. Una retta, infatti, che attraversa la curva e la taglia viene definita secante. Nel momento in cui pensiamo a una secante come a una retta che passa per due punti di una curva distinti, ecco che la tangente a un punto è semplicemente la retta cui la secante tende nel momento in cui i due punti distinti della secante si avvicinano. Un altro modo per spiegare il concetto di tangenza, invece, consiste nel pensare che la tangente a una curva è la retta che approssima meglio la curva nei dintorni di un dato punto. Risulta evidente, da queste poche definizioni non formali, che la retta tangente non può essere sempre definita. Per esempio, nel caso in cui la curva sia formata dal perimetro di un triangolo, nessuna delle due definizioni che abbiamo dato in precedenza può considerarsi esatta. Andiamo, dunque, a calcolare l’equazione della retta tangente. Definendo come x0 il punto e come fx la funzione nel punto, l’equazione si calcola come y meno fxo, che è uguale a f’xo per la differenza tra x meno x0. Per esempio, immaginando che fx corrisponda a x elevato alla x, e xo sia uguale a 1, avremo la funzione di xo fxo uguale alla funzione di uno, cioè uno elevato alla uno, e quindi uno. A questo punto, sarà necessario calcolare la derivata di x elevato alla x. Ecco, dunque, calcolata la tangente. Per quanto riguarda la geometria sintetica, comunque, è opportuno segnalare come sia possibile fornire delle definizioni alternative per quanto concerne determinati tipi di tangente. Basti pensare alla tangente di una circonferenza: in questo caso, essa corrisponde alla retta che passa in un dato punto della circonferenza, distante dal centro esattamente quanto il raggio, o in alternativa, la sola retta del piano che ha in comune con la circonferenza quel dato punto. Viceversa, nella geometria tridimensionale, il piano tangente a una superficie e lo spazio tangente corrispondono. Come si è visto dalla descrizione che abbiamo effettuato poco fa, il calcolo di una tangente, in presenta di una curva generica, viene eseguito a livello infinitesimale. Andiamo a spiegare: supponendo che una curva rappresenti il grafico di una funzione y uguale a f di x, e che si voglia pensare al suo punto xo, yo, con yo uguale alla funzione di xo, si potrà dire la curva presenta una tangente nel punto considerato solo nel caso in cui la funzione sia derivabile in xo. Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente medesima è costituito da f’ di xo. Da ciò deriva che nel caso in cui la curva, infine, raggiunga l’altezza di più o meno infinito, si avrà a che fare con una tangente che corrisponde a una retta verticale.

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